バスの待ち時間の確率は?〜数式なしで確率密度関数を理解する❗️

AI学習ダイアリー
今夜はサラダ。真ん中のはそのまんまのゆで卵。

「10分おきに出るバスがある。さて、何分待つ?」

という問題を、前回学んだ「確率分布」を使って考えてみる。

バスは待つのは苦行のひとつ。

これを1分後、2分後、・・・、10分後と、
サイコロの目のようにとびとびの変数で考え、

1分待つ確率は1/10? 5分なら1/2?

と思いついたが、
ちょっと待て!

1分10秒とか、1分12秒とか・・・。

そう、
時間は連続したもので、
サイコロの目のように1、2、3、4、5、6と、とびとびの数字ではなく(「離散確率変数」という(*))、
無限」に分割できるのだ。(「連続確率変数」という)(**)

それではどうやって確率を求めるのか?

そこで、どこかの天才が、

確率を面積で表そう!

と考えついたそうな。

0〜10分までをすべての値が一様な可能性で出るとしてグラフを描くと、
次のようになる。

Excelに図形を使って描いた

すべての場合が網羅されるように、
ちょうどこの青い部分の面積が1になる(=)ように描かれているのだ。
(1/10X10=1)
この高さ1/10に当たるものを「確率密度」という。

そして、
連続確率変数の確率は、

「確率密度X確率変数の範囲」で求められる面積

に相当する。

たとえば、

ちょうど1分後にバスが来る確率は0だが、
1分以内にバスが来る確率は1/10となる(***)

先ほど
5分なら1/2?
といったが、
正確には、
5分以内なら1/2
ということだ(これは実感に合う)

このように、
ある範囲に値が含まれている可能性という考え方は、
統計学では広く用いられている概念だそうだ。
覚えておこう。

そして、
連続型確率変数が、ある値をとるという事象の確率密度を記述する方法を、
確率密度関数」という。

これも大切な概念だ。
覚えておこう。

 確率変数とは、確率にしたがっていろんな値を取る変数のこと
** 0〜10分まで、区切ろうと思えばどれだけでも区切れる(=無限)。確率分布はすべての場合が網羅されている(ぜんぶの確率を足せば1になる。サイコロの出る目の場合、1/6x6通り=1となる)のが条件だが、この場合、1/10X無限=無限となり、1にならないのでおかしい。
*** 1分後というピンポイントの場合 1/無限≒0となり、0〜1分なら、1/10X(1ー0)=1/10と計算できるからである。

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